Eclairement d'un cadran plan

par Yvon Massé

La calculette graphique CASIO fx-6910g, pour laquelle un petit programme de calcul de l'orientation d'un plan a déjà été proposé (*), a la particularité intéressante de représenter les inéquations. Celles-ci sont à la base d'un des problèmes de la gnomonique qui est l'éclairement d'un cadran plan.
Les grandes lignes de ce problème sont présentées ici dans le cas idéal où l'horizon est parfaitement dégagé et où il n'y a pas d'obstacle autour de la surface du cadran (avancée de toit par exemple). Un petit programme qui représente graphiquement les résultats sur la calculette est ensuite proposé.

Un cadran ne peut être éclairé que quand il fait jour (n'est-ce pas Monsieur La Palice?) c'est-à-dire lorsque le soleil est au-dessus de l'horizon ce qu'en termes mathématiques, si nous posons h pour la hauteur du soleil, nous écrivons: h > 0. Voici une première inéquation. Pour que le cadran soit éclairé il faut aussi que le soleil soit au-dessus de sa table ce qui conduit à une seconde inéquation. Enfin le soleil ne passe pas en tout point de la sphère céleste. Dans le repère équatorial sa déclinaison d est limitée à environ ±23,5° ce qui s'écrit encore: -23,5° < d < 23,5°. Ce sera la dernière inéquation dont nous avons besoin pour traiter le problème.

Nous avons ainsi relevé quatre frontières. Les deux premières, à savoir le plan de l'horizon et celui du cadran, délimitent une zone dans laquelle le soleil éclaire le cadran. Elle est représentée sur la sphère céleste à la Figure 1 , en gris clair, pour un cadran vertical situé dans l'hémisphère nord et déclinant à l'ouest. Plus exactement pour une latitude de 50° et une déclinaison gnomonique de 45°. Remarquons que le plan du cadran peut être assimilé à un autre horizon qui est celui de l'endroit où est situé le cadran horizontal équivalent (CHE).

Fig. 1

Les deux dernières frontières, qui sont les tropiques du Cancer et du Capricorne, délimitent la bande tropicale dans laquelle se situe le soleil. Sa position dans cette bande est définie par sa déclinaison qui évolue au cours des saisons et par son angle horaire qui nous intéresse fortement car il est directement lié à l'heure vraie. L'intersection de la bande tropicale et de la zone précédente, représentée en gris foncé, nous donne ainsi les positions du soleil, ou encore les heures vraies en fonction des saisons, pour lesquelles le cadran est éclairé.
Le problème est donc, en quelque sorte, résolu. C'est la manière de lire les résultats qui est plutôt acrobatique


LE GNOMONISTE, septembre 1998, Yvon Massé, page 2
car elle doit se faire sur une sphère. Une façon de représenter les résultats sous une forme plus pratique peut être obtenue en projetant, du centre O, la sphère sur un cylindre dont l'axe est confondu avec l'axe polaire. Les courbes de même angle horaire deviennent ainsi droites comme on peut le voir à la Figure 2.

Fig. 2

Pour obtenir une représentation plane il suffit alors de dérouler le cylindre. Si on le coupe dans le prolongement de la ligne horaire de minuit et si on regarde sa partie interne après l'avoir mis à plat on obtient ce qui est représenté à la Figure 3 .

Fig. 3

On peut ainsi lire horizontalement les heures vraies et verticalement la tangente de la déclinaison du soleil. L'intérêt d'utiliser cette méthode de représentation est que les courbes qui correspondent à l'horizon et au plan du cadran sont de véritables sinusoïdes. Elles ont pour amplitude la cotangente de la latitude du lieu pour l'horizon ou du CHE pour le plan du cadran. Enfin le décalage entre les deux courbes correspond à la différence de longitude du CHE.
Sur le graphique on peut alors lire que, par exemple, le cadran commence à être éclairé vers 8 h 40 (heure vraie) au solstice d'hiver et que le soleil se couche à 18 h aux équinoxes.


LE GNOMONISTE, septembre 1998, Yvon Massé, page 3
Le petit programme qui est proposé ici nous permet de tracer le même graphique. Après avoir vérifié que la calculette soit en mode degré et que le programme soit bien entré en mémoire en tenant compte des indications il suffit de le lancer et de répondre aux questions posées: Le programme affiche alors la latitude et la différence de longitude du CHE puis il trace la représentation graphique à l'aide des inéquations évoquées au début. Si on a entré les valeurs: LAT = 50°, DEC = 45° et INC = 90° on obtient l'affichage de la Figure 4 où la partie sombre représente l'intersection définie précédemment.


Fig. 4

On peut alors appuyer sur la touche F1 et déplacer à l'aide des flèches un petit curseur clignotant le long des courbes du graphique. Sa position est indiquée en bas de l'écran directement en heures vraies pour la valeur de X. Si on le déplace sur le tropique du capricorne jusqu'au début de l'éclairement du cadran on obtient l'affichage de la Figure 5 qui indique 8,6666 soit les 8 h 40 que nous avions trouvées précédemment.


Fig. 5

N'hésitez pas à essayer toutes sortes de configuration, le programme fonctionne pour tous les cas de figure y compris quand on se situe aux pôles.


LE GNOMONISTE, septembre 1998, Yvon Massé, page 4

Le programme

" L A T " ? P Saisie de la latitude
" D E C " ? D Saisie de la déclinaison du cadran
" I N C " ? I Saisie de son inclinaison
sin ( sin P cos I - cos P sin I cos D ) Q Calcul de la latitude du CHE
cos P cos I + sin P sin I cos D X Calcul de sa différence de longitude
sin D sin I Y
If Abs X + Abs Y = 0 Si le CHE est sur un des pôles
Then 0 L On prend une différence de longitude nulle
Else Pol ( X , Y ) List 1
List 1 [ 2 ] L
Ifend
" L A T   E Q " Affichage des résultats
Q
" D I F   L O N G "
L
ViewWindow (-) 1 , 2 5 , 3 , (-) . 7 , . 7 , . 2 5 Définition de la fenêtre graphique
Graph Y> (-) . 4 3 4 Affichage de la bande tropicale:
Graph Y< . 4 3 4 0,434 = tg 23° 28'
P = 0 . 0 1 P Sur l'équateur on triche un peu
Y>Type Inéquation "Soleil au dessus de l'horizon"
P < 0 Y<Type
" cos ( 1 5 X ) ÷ tan P " Y 1 Pour le Y taper: VARS F2(GRPH) F1(Y)
Q = 0 . 0 1 Q Si le CHE est sur l'équateur on triche un peu
Y>Type Inéquation "Soleil au-dessus du cadran"
Q < 0 Y<Type
" cos ( 1 5 X - L ) ÷ tan Q " Y 2
DrawGraph Affichage de la zone entre l'horizon et le plan du cadran

Note:
(*) voir MASSÉ, Yvon, "Mesure de l'inclinaison et de la déclinaison d'un plan" , in LE GNOMONISTE, Le Bulletin de la Commission des Cadrans solaires du Québec, Vol. 5 No. 1 (mars 1998), pp. 2-5.

On peut rejoindre M. Massé:
au 7, rue des Tilleuls, 95300, PONTOISE, France.
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LE GNOMONISTE, septembre 1998, Yvon Massé, page 5